Задание №80349 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = -12 \sin x + 6\sqrt{3}.$$

Найдём нули производной на заданном отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

$$-12 \sin x + 6\sqrt{3} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{\pi}{3}.$$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ и её поведение:

(График с изменением знаков производной, где при $x = \frac{\pi}{3}$— максимум.)

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ будет в точке $x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12 \cos \frac{\pi}{3} + 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi + 6 = 12.$$