Задание №80350 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = -\frac{7\sqrt{3}}{3} + \frac{14\sqrt{3}}{3} \sin x.$$

Найдём нули производной на заданном отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$

$$-\frac{7\sqrt{3}}{3} + \frac{14\sqrt{3}}{3} \sin x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \frac{\pi}{6}.$$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ и её поведение:

(График с изменением знаков производной, где при $x = \frac{\pi}{6}$ — минимум.)

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ будет в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 11 + \frac{7\sqrt{3}\pi}{18} - \frac{7\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{14\sqrt{3}}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} = 11 + \frac{7\sqrt{3}\pi}{18} - \frac{7\sqrt{3}\pi}{18} - 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} = 4.$$