Задание №80362 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = \frac{5}{\cos^2 x} - 5 = \frac{5 - 5 \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{5(1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{5 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 5 \tg^2 x.$$

Видно, что $y' = 5 \tg^2 x \geq 0$ при $x \in \left[ 0; \frac{\pi}{4} \right]$.

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{4} \right]$ будет принимать в точке $x = 0$.

$$y(0) = 5 \tg 0 - 5 \cdot 0 + 6 = 6.$$