Задание №80365 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = \frac{16}{\cos^2 x} - 16 = \frac{16 - 16 \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{16 (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{16 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 16 \tg^2 x.$$

Видно, что $y' = 16 \tg^2 x \geq 0$ при $x \in \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$ будет принимать в точке $x = \frac{\pi}{4}$.

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = 16 \tg \frac{\pi}{4} - 16 \cdot \frac{\pi}{4} + 4\pi - 5 = 16 - 4\pi + 4\пи - 5 = 11.$$