Задание №80369 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = \frac{36}{\cos^2 x} - 36 = \frac{36 - 36 \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{36 (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{36 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 36 \tg^2 x.$$

Видно, что $y' = 36 \tg^2 x \geq 0$ при $x \in \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$.

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4} \right]$будет принимать в точке $x = -\frac{\pi}{4}$.

$$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 36 \tg \left( -\frac{\pi}{4} \right) - 36 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) - 9\pi + 7 = -36 + 9\pi - 9\pi + 7 = -36 + 7 = -29.$$