Задание №80375 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 31 - \frac{31}{\cos^2 x} = \frac{31 \cos^2 x - 31}{\cos^2 x} = \frac{-31 (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{-31 \sin^2 x}{\cos^2 x} = -31 \tg^2 x.$$

Видно, что $y' = -31 \tg^2 x \leq 0$ при $x \in \left[ - \frac{\pi}{4}; 0 \right]$.

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наименьшее значение на отрезке $\left[ - \frac{\pi}{4}; 0 \right]$будет принимать в точке $x = 0$.

$$y(0) = 31 \cdot 0 - 31 \tg 0 + 13 = 13.$$