Задание №80376 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = \frac{6}{\cos^2 x} - 12.$$

Найдём нули производной на отрезке $\left[ - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3} \right]$, воспользовавшись формулой понижения степени:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.$$

Теперь решим уравнение для нахождения критических точек:

$$\frac{6}{\cos^2 x} - 12 = 0.$$

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}.$$

Следовательно, $\cos 2x = 0$, и из этого следует, что:

$$x = \pm \frac{\pi}{4}.$$

Определим знаки производной функции на заданном отрезке $\left[ - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3} \right]$ и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке $\left[ - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3} \right]$будет в точках $x = - \frac{\pi}{3}$или $x = \frac{\pi}{4}$.

$$y\left( -\frac{\pi}{3} \right) = 6 \tg\left( -\frac{\pi}{3} \right) - 12 \left( -\frac{\pi}{3} \right) + 3\pi - 13 = -6 \sqrt{3} + 7\pi - 13;$$

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = 6 \tg \frac{\pi}{4} - 12 \cdot \frac{\pi}{4} + 3\pi - 13 = -7.$$

Так как $-7 < -6\sqrt{3} + 7\pi - 13$, то наименьшее значение равно $-7$.