Задание №80379 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную заданной функции:

$$y' = (0,5 - x)' \cos x + (0,5 - x)(\cos x)' + (\sin x)' = - \cos x - (0,5 - x) \sin x + \cos x = (x - 0,5) \sin x.$$

Найдем нули производной при $x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$:

$$(x - 0,5) \sin x = 0$$

$$\{ \begin{aligned} & x - 0,5 = 0 \\ & 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{aligned} \} \Rightarrow x = 0,5.$$

Проверим знаки производной и ее поведение при $x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$:

$$y' = \begin{cases} < 0, & x < 0,5 \\ > 0, & x > 0,5 \end{cases}$$

Следовательно, точка минимума $x = 0,5$.