Задание №80380 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = (2x - 3)' \cos x + (2x - 3) (\cos x)' - (2 \sin x)' = 2 \cos x - (2x - 3) \sin x - 2 \cos x = (3 - 2x) \sin x.$$

Найдём нули производной при $x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$:

$$\begin{cases} (3 - 2x) \sin x = 0 \\ 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} 3 - 2x = 0 \\ 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \quad \Longleftrightarrow \quad x = 1{,}5.$$

Проверим знаки производной и её поведение при $x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$:

$$\begin{aligned} &\text{Точка максимума } x = 1{,}5. \end{aligned}$$