Задание №80392 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции:
$x \in \mathbb{R}$

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left((x - 9)^2\right)' e^{9 - x} + (x - 9)^2 (e^{9 - x})' = 2(x - 9) e^{9 - x} + (x - 9)^2 (-e^{9 - x})$
$y' = 2(x - 9) e^{9 - x} - (x - 9)^2 e^{9 - x} = e^{9 - x} (x - 9) (2 - (x - 9)) = e^{9 - x} (x - 9)(11 - x)$

Найдём нули производной:
$e^{9 - x} (x - 9)(11 - x) = 0$
$(x - 9)(11 - x) = 0$
$x_1 = 9$, $x_2 = 11$

Определим знаки производной функции и её поведение:

Следовательно, точка максимума $x = 11$.