Задание №80396 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции:
$x \in [3; 10]$

Найдём производную заданной функции:
$y' = (8 - x)' e^{x - 7} + (8 - x) (e^{x - 7})' = -e^{x - 7} + (8 - x) e^{x - 7} = e^{x - 7}((8 - x) - 1) = e^{x - 7}(7 - x)$

Найдём нули производной:
$e^{x - 7}(7 - x) = 0$
$7 - x = 0$
$x = 7$

Исследуем функцию на концах отрезка:
$y(3) = (8 - 3) e^{3 - 7} = 5 e^{-4}$
$y(10) = (8 - 10) e^{10 - 7} = -2 e^3$

Определим знаки производной функции и её поведение на отрезке $[3; 10]$:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[3; 10]$будет в точке $x = 7$.

$y(7) = (8 - 7) e^{7 - 7} = 1 \cdot 1 = 1$