Задание №80401 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = (3x^2 - 36x + 36)' e^x + (3x^2 - 36x + 36) (e^x)' = (6x - 36) e^x + (3x^2 - 36x + 36) e^x = e^x (6x - 36 + 3x^2 - 36x + 36) = e^x (3x^2 - 30x).$$

Найдём нули производной:

$$e^x (3x^2 - 30x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 30x = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 10.$$

Значение $x_2 = 10 \notin [-1; 4]$.

Определим знаки производной функции на отрезке $[-1; 4]$ и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 4]$ будет в точке $x = 0$.

$$y(0) = (3 \cdot 0^2 - 36 \cdot 0 + 36) e^0 = 36.$$