Задание №80404 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:

$$y' = \left( x^2 - 8x + 8 \right)' e^{2-x} + \left( x^2 - 8x + 8 \right) \left( e^{2-x} \right)' = (2x - 8) e^{2-x} + \left( x^2 - 8x + 8 \right) \cdot (-1) \cdot e^{2-x} = e^{2-x} \left( 2x - 8 - x^2 + 8x - 8 \right) = e^{2-x} \left( -x^2 + 10x - 16 \right).$$

Найдём нули производной:

$$e^{2-x} \left( -x^2 + 10x - 16 \right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -x^2 + 10x - 16 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 8.$$

Значение $x_2 = 8 \notin [1; 7]$

Определим знаки производной функции на отрезке $[1; 7]$и её поведение:

​

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 7]$будет в точке $x = 2$:

$$y(2) = (2^2 - 8 \cdot 2 + 8) e^{2-2} = -4.$$