Задание №80410 ЕГЭ Профильной математике

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left( x^2 - 10x + 10 \right)' e^{10 - x} + \left( x^2 - 10x + 10 \right) \left( e^{10 - x} \right)' = (2x - 10) e^{10 - x} + \left( x^2 - 10x + 10 \right) e^{10 - x} \cdot (-1) = (2x - 10) e^{10 - x} - \left( x^2 - 10x + 10 \right) e^{10 - x} = e^{10 - x} \left( (2x - 10) - (x^2 - 10x + 10) \right) = e^{10 - x} \left( -x^2 + 12x - 20 \right)$

Найдём нули производной:

$$e^{10 - x} (-x^2 + 12x - 20) = 0$$

$$-x^2 + 12x - 20 = 0$$

$$x_1 = 2, \quad x_2 = 10$$

Значение $x_2 = 2 \notin [5; 11]$

Определим знаки производной функции на отрезке $[5; 11]$и её поведение:

​​

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[5; 11]$будет в точке $x = 10$.

$$y(10) = (10^2 - 10 \cdot 10 + 10) e^{10 - 10} = 10$$