Задание №80411 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left( (x - 2)^2 \right)' e^{x - 2} + (x - 2)^2 \left( e^{x - 2} \right)' = 2(x - 2) e^{x - 2} + (x - 2)^2 e^{x - 2} = e^{x - 2} (x - 2)(2 + x - 2) = e^{x - 2} (x - 2) x$

Найдём нули производной:

$$e^{x - 2} (x - 2) x = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 2$$

Значение $x_1 = 0 \notin [1; 4]$

Определим знаки производной функции на отрезке $[1; 4]$ и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ будет в точке $x = 2$.

$$y(2) = (2 - 2)^2 e^{2 - 2} = 0$$