Задание №80414 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left( (x - 2)^2 \right)' e^x + (x - 2)^2 \left( e^x \right)' = 2(x - 2) e^x + (x - 2)^2 e^x = e^x (x - 2)(2 + x - 2) = e^x (x - 2) x$

Найдём нули производной:

$$e^x (x - 2) x = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = 2$$

Значение $x_2 = 2 \notin [-5; 1]$

Определим знаки производной функции на отрезке $[-5; 1]$ и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-5; 1]$ будет в точке $x = 0$.

$$y(0) = (0 - 2)^2 e^0 = 4$$