Задание №80415 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left( (x + 3)^2 \right)' e^{3 - x} + (x + 3)^2 \left( e^{3 - x} \right)' = 2(x + 3) e^{3 - x} + (x + 3)^2 e^{3 - x} \cdot (-1) = 2(x + 3) e^{3 - x} - (x + 3)^2 e^{3 - x} = e^{3 - x} (x + 3) (2 - (x + 3)) = e^{3 - x} (x + 3)(-x - 1)$

Найдём нули производной:

$$e^{3 - x} (x + 3)(-x - 1) = 0$$

$$x_1 = -3$$

$$x_2 = -1$$

Определим знаки производной функции на отрезке $[-5; -1]$ и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-5; -1]$будет в точке $x = -3$.

$$y(-3) = (-3 + 3)^2 e^{3 - (-3)} = 0$$