Задание №80416 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$.

Найдём производную заданной функции:
$y' = \left( (x + 6)^2 \right)' e^{4 - x} + (x + 6)^2 \left( e^{4 - x} \right)' = 2(x + 6) e^{4 - x} + (x + 6)^2 e^{4 - x} \cdot (-1) = 2(x + 6) e^{4 - x} - (x + 6)^2 e^{4 - x} = e^{4 - x} (x + 6) (2 - (x + 6)) = e^{4 - x} (x + 6)(-x + 4)$

Найдём нули производной:

$$e^{4 - x} (x + 6)(-x + 4) = 0$$

$$x_1 = -6$$

$$x_2 = -4$$

Определим знаки производной функции на отрезке $[-6; -1]$ и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-6; -1]$ будет в точке $x = -4$.

$$y(-4) = (-4 + 6)^2 e^{4 - (-4)} = 4$$