Задание №80423 ЕГЭ Профильной математике

Воспользуемся свойством логарифмов:

$$\log_a b^p = p\log_a |b|, \text{если } p \text{ – чётное}.$$

Тогда:

$$y = 4x - 4\ln(x + 8).$$

Так как $x \in [-7.5; 0]$, то $x + 8 > 0$ и $|x + 8| = x + 8$

Поэтому:

$$y = 4x - 4\ln(x + 8).$$

Найдём производную полученной функции:

$$y' = 4 - \frac{4}{x + 8}.$$

Найдём нули производной:

$$4 - \frac{4}{x + 8} = 0$$

$$x + 8 = 1$$

$$x = -7.$$

Определим знаки производной функции на отрезке $[-7.5; 0]$и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-7.5; 0]$ будет в точке $x = -7$.

$$y(-7) = 4 \cdot (-7) - \ln((-7 + 8)^4) = -28 - \ln 1 = -28.$$