Задание №80426 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in (-5; \infty)$

Воспользуемся свойством логарифмов:

$$\log_a b^p = p\log_a b.$$

Тогда:

$$y = 5\ln(x + 5) - 5x.$$

Найдём производную полученной функции:

$$y' = \frac{5}{x + 5} - 5.$$

Найдём нули производной:

$$\frac{5}{x + 5} - 5 = 0$$

$$x + 5 = 1$$

$$x = -4.$$

Определим знаки производной функции на отрезке $[-4.5; 0]$ и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-4.5; 0]$ будет в точке $x = -4$.

$$y(-4) = \ln(-4 + 5)^5 - 5 \cdot (-4) = \ln 1 + 20 = 20.$$