Задание №80438 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in (0; \infty)$

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 18 - \frac{1}{18x} \cdot (18x)' = 18 - \frac{1}{18x} \cdot 18 = 18 - \frac{1}{x}.$$

Найдём нули производной:

$$18 - \frac{1}{x} = 0$$

$$\frac{1}{x} = 18$$

$$x = \frac{1}{18}.$$

Определим знаки производной функции на отрезке $\left[\frac{1}{36}; \frac{5}{36}\right]$и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $\left[\frac{1}{36}; \frac{5}{36}\right]$ будет в точке $x = \frac{1}{18}$.

$$y\left( \frac{1}{18} \right) = 18 \cdot \frac{1}{18} - \ln\left( 18 \cdot \frac{1}{18} \right) + 11 = 1 - \ln 1 + 11 = 12.$$