Задание №80445 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in (0; \infty)$

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 2x - 3 + \frac{1}{x}.$$

Найдём нули производной:

$$2x - 3 + \frac{1}{x} = 0$$

$$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

$$x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{2}.$$

Значение $x_2 = \frac{1}{2} \notin \left[\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right]$

Определим знаки производной функции на отрезке $\left[\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right]$ и её поведение:

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $\left[\frac{3}{4}; \frac{5}{4}\right]$ будет в точке $x = 1$

$$y(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + \ln 1 + 10 = 1 - 3 + 10 = 8.$$