Задание №80466 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 3x^2 - 6x$$

Найдём нули производной:

$$3x^2 - 6x = 0$$

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 2$$

Значение $x_1 = 0 \notin [1; 4]$. Наименьшее значение функции будет в концах отрезка $[1; 4]$, то есть в точках $x = 1$, $x = 4$ или в точке $x = 2$:

$$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 0;$$

$$y(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 2 = 18;$$

$$y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = -2.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $-2$