Задание №80467 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 3x^2 + 18x$$

Найдём нули производной:

$$3x^2 + 18x = 0$$

$$x(3x + 18) = 0$$

$$x_1 = -6, \quad x_2 = 0$$

Значение $x_2 = 0 \notin [-9; -3]$. Наибольшее значение функции будет в концах отрезка $[-9; -3]$, то есть в точках $x = -9$, $x = -3$, или в точке $x = -6$:

$$y(-9) = (-9)^3 + 9 \cdot (-9)^2 + 19 = 19;$$

$$y(-3) = (-3)^3 + 9 \cdot (-3)^2 + 19 = 73;$$

$$y(-6) = (-6)^3 + 9 \cdot (-6)^2 + 19 = 127.$$

Следовательно, наибольшее значение функции: $$y(-6) = 127$$