Задание №80470 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x \in \mathbb{R}$

Найдём производную заданной функции:

$$y' = 3x^2 - 4x + 1$$

Найдём нули производной:

$$3x^2 - 4x + 1 = 0$$

$$x_1 = \frac{1}{3}, \quad x_2 = 1$$

Значение $x_1 = \frac{1}{3} \notin [1; 4]$. Наименьшее значение функции будет в концах отрезка $[1; 4]$, то есть в точках $x = 1$и $x = 4$:

$$y(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 3;$$

$$y(4) = 4^3 - 2 \cdot 4^2 + 4 + 3 = 39.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $3$.