Задание №80474 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$.

Находим производную данной функции:

$$y' = 3x^2 - 39x + 90.$$

Найдём нули производной:

$$3x^2 - 39x + 90 = 0 \quad \text{(делим на 3)}$$ 

$$x^2 - 13x + 30 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x_1 = 3, \quad x_2 = 10.$$

Значение $x_1 = 3 \notin [8; 13]$. Определим знаки производной на отрезке $[8; 13]$ и её поведение:

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[8;13]$ будет в точке $x = 10$.

Найдём значение функции в точке $x = 10$:

$$y(10) = 10^3 - 19.5 \cdot 10^2 + 90 \cdot 10 + 22 = 1000 - 1950 + 900 + 22 = -28.$$