Задание №82818 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{AC}=8$, $\mathrm{BD}=6$. Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и пересекаются под прямым углом, то $\mathrm{AO}=4$, $\mathrm{BO}=3$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{AOB}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AO}}^2+{\mathrm{BO}}^2 \\ \mathrm{AB}=\sqrt{4^2+3^2}=5 \end{gathered}$$

Площадь основания ромба:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24.$

Пусть боковое ребро ${\mathrm{AA}}_1=\mathrm{x}$.

Площадь боковой грани:

${\mathrm{S}}_{{\mathrm{ABB}}_1{\mathrm{A}}_1}=\mathrm{AB}\cdot {\mathrm{AA}}_1=5\mathrm{x}$

Площадь поверхности призмы равна удвоенной площади основания плюс площади боковой поверхности:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=2\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}+4\cdot {\mathrm{S}}_{{\mathrm{ABB}}_1{\mathrm{A}}_1} \\ 248=2\cdot 24+4\cdot 5\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=10 \end{gathered}$$