Задание №83434 ЕГЭ Профильной математике

Объём конуса равен $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}$, где $\mathrm{R}$ — радиус основания, а $\mathrm{h}$ — высота конуса. Квадрат со стороной $\mathrm{AB}=4$, лежащий в основании пирамиды, вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Поэтому радиус основания конуса $\mathrm{R}$ равен половине диагонали квадрата $\mathrm{ABCD}$:

$\mathrm{R}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \mathrm{AB}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Тогда объём конуса равен:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\cdot (2\sqrt{2}{)}^2\cdot 6=16\mathrm{\pi }$

$\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }}=\frac{16\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }}=16$