Задание №84914 ЕГЭ Профильной математике

Ищем производную функции. У нас дано произведение двух функций, поэтому считаем производную по формуле производной произведения функций:

${\text{y}}^{\text{'}}=2(x+13)e^{-x}+(x+13{)}^2\cdot (-1)e^{-x}\mathrm{.}$

${\mathrm{y}}^{\text{'}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\left(2\right(\mathrm{x}+13)-(\mathrm{x}+13{)}^2)\mathrm{.}$

${\mathrm{y}}^{\text{'}}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{x}+13)(2-\mathrm{x}-13)\mathrm{.}$

${\mathrm{y}}^{\text{'}}=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{x}+13)(\mathrm{x}+11)\mathrm{.}$

Прирaвниваем производную к нулю:

$-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(\mathrm{x}+13)(\mathrm{x}+11)=0.$

$$\begin{gathered} -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\ne 0 \\ \mathrm{x}+13=0 \mathrm{x}+11=0 \\ \mathrm{x}=-13 \mathrm{x}=-11 \end{gathered}$$

Определяем знаки производной на прямой:

Функция убывает перед $\mathrm{x}=-13$, возрастает после и снова убывает после $\mathrm{x}=-11$. Точка минимума: $\mathrm{x}=-13$.