Для решения этой задачи нам понадобится наметить ход решения и использовать свойства прямоугольных треугольников, а также тригонометрические зависимости.
У нас есть треугольник ( ABC ), в котором ( BD ) является высотой, делит ( AC ) на два отрезка ( AD ) и ( CD ), и нам нужно найти ( AD ). Также известно, что ( BC = 6 ) см, угол ( A = 30^\circ ), и угол ( CBD = 45^\circ ).
Поскольку угол ( CBD = 45^\circ ), и угол ( C ) является прямым (потому что ( BD ) это высота), треугольник ( CBD ) является прямоугольным и равнобедренным. Соответственно, ( CD = BC = 6 ) см.
Так как угол ( A = 30^\circ ), это значит, что треугольник ( ABD ) - это половина равностороннего треугольника. Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника с углами 30°-60°-90°. В таких треугольниках отношение длин сторон составляет ( 1:\sqrt{3}:2 ), где 1 - длина стороны напротив угла в 30°, ( \sqrt{3} ) - длина высоты, и 2 - длина гипотенузы.
Таким образом, если ( BD ) (которая равна ( CD ), и она тоже равна 6 см) является длиной напротив угла в 60°, то сторона напротив угла в 30° (то есть ( AD )) будет в два раза меньше, то есть равна ( \frac{6}{\sqrt{3}} ). Это выражение мы должны разделить на ( \sqrt{6} ), чтобы получить окончательный ответ для теста.
( \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{18}} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} )
Итак, ( AD = \sqrt{2} ).
