sin2xcos6x + sin6xcos2x =< 0 Найди минимальное значение х из промежутка (-п/6;0), удовлетворяющее данному неравенству. Запиши в поле ответа значение х, умноженное на 16/п Введи…

Для решения неравенства \( \sin(2x) \cos(6x) + \sin(6x) \cos(2x) \leq 0 \) можем воспользоваться формулой суммы синусов.

Мы знаем, что: \[ \sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a) = \sin(a + b) \] В нашем случае \( a = 2x \) и \( b = 6x \), следовательно: \[ \sin(2x) \cos(6x) + \sin(6x) \cos(2x) = \sin(2x + 6x) = \sin(8x) \]

Таким образом, наше неравенство преобразуется в: \[ \sin(8x) \leq 0 \]

Теперь определим, когда синус имеет отрицательные значения. Синус отрицателен в интервалах: \[ \frac{(2k - 1) \pi}{2} < 8x < 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Решим это неравенство для \( k = 1 \) и \( k = 2 \), так как нужно найти значения \( x \) в промежутке \( (-\frac{\pi}{6}, 0) \).

1. Для \( k = 1 \): \[ \frac{1 \pi}{2} < 8x < 2\pi \] Делим всё на 8: \[ \frac{\pi}{16} < x < \frac{\pi}{4} \] Это значение не попадает в наш интервал.

2. Для \( k = 2 \): \[ \frac{3 \pi}{2} < 8x < 4\pi \] Делим всё на 8: \[ \frac{3\pi}{16} < x < \frac{1\pi}{2} \] Также это значение не попадает в наш интервал.

3. Теперь попробуем \( k = 0 \): \[ -\frac{\pi}{2} < 8x < 0 \] Делим всё на 8: \[ -\frac{\pi}{16} < x < 0 \] Таким образом, \( x \) в пределах \( (-\frac{\pi}{16}, 0) \) удовлетворяет условию.

Теперь нужно найти минимальное значение \( x \) из промежутка \( (-\frac{\pi}{6}, 0) \), что будет \( x = -\frac{\pi}{16} \).

Теперь умножим его на \( \frac{16}{\pi} \): \[ -\frac{\pi}{16} \cdot \frac{16}{\pi} = -1 \]

Итак, ответ: \[ -1 \]