Для решения неравенства ( \sin(2x) \cos(6x) + \sin(6x) \cos(2x) \leq 0 ) можем воспользоваться формулой суммы синусов.
Мы знаем, что:
[
\sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a) = \sin(a + b)
]
В нашем случае ( a = 2x ) и ( b = 6x ), следовательно:
[
\sin(2x) \cos(6x) + \sin(6x) \cos(2x) = \sin(2x + 6x) = \sin(8x)
]
Таким образом, наше неравенство преобразуется в:
[
\sin(8x) \leq 0
]
Теперь определим, когда синус имеет отрицательные значения. Синус отрицателен в интервалах:
[
\frac{(2k - 1) \pi}{2} < 8x < 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Решим это неравенство для ( k = 1 ) и ( k = 2 ), так как нужно найти значения ( x ) в промежутке ( (-\frac{\pi}{6}, 0) ).
Для ( k = 1 ):
[
\frac{1 \pi}{2} < 8x < 2\pi
]
Делим всё на 8:
[
\frac{\pi}{16} < x < \frac{\pi}{4}
]
Это значение не попадает в наш интервал.
Для ( k = 2 ):
[
\frac{3 \pi}{2} < 8x < 4\pi
]
Делим всё на 8:
[
\frac{3\pi}{16} < x < \frac{1\pi}{2}
]
Также это значение не попадает в наш интервал.
Теперь попробуем ( k = 0 ):
[
-\frac{\pi}{2} < 8x < 0
]
Делим всё на 8:
[
-\frac{\pi}{16} < x < 0
]
Таким образом, ( x ) в пределах ( (-\frac{\pi}{16}, 0) ) удовлетворяет условию.
Теперь нужно найти минимальное значение ( x ) из промежутка ( (-\frac{\pi}{6}, 0) ), что будет ( x = -\frac{\pi}{16} ).
Теперь умножим его на ( \frac{16}{\pi} ):
[
-\frac{\pi}{16} \cdot \frac{16}{\pi} = -1
]
Итак, ответ:
[
-1
]
