Конечно! Давайте подробно разберем каждый из ваших вопросов:
- Найдите координаты вектора vec AC, зная координаты его начала и конца A(-2; 8) C(4; -9).
Чтобы найти координаты вектора ( \vec{AC} ), вам нужно вычесть координаты точки A из координат точки C:
[
\vec{AC} = C - A = (4 - (-2), -9 - 8) = (4 + 2, -9 - 8) = (6, -17).
]
Координаты вектора ( \vec{AC} ) равны ( (6; -17) ).
- Найдите длину вектора vec d (-15; 8).
Длину вектора можно найти по формуле:
[
||\vec{d}|| = \sqrt{x^2 + y^2},
]
где ( x ) и ( y ) — координаты вектора. Для вектора ( \vec{d} = (-15; 8) ) имеем:
[
||\vec{d}|| = \sqrt{(-15)^2 + (8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17.
]
Длина вектора ( \vec{d} ) равна 17.
- Даны точки A(-5; -1) B(-3; 9). Найдите координаты точки C, если C — середина отрезка AB.
Координаты середины отрезка можно вычислить по формуле:
[
C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right).
]
Подставим ваши точки:
[
C = \left(\frac{-5 + (-3)}{2}, \frac{-1 + 9}{2}\right) = \left(\frac{-8}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-4, 4).
]
Координаты точки C равны ( (-4; 4) ).
- Даны точки A(-3; 2) B(5; 2) C(1; -6). Составьте уравнение окружности, имеющей центр в точке C и радиусом AB.
Сначала найдем длину отрезка AB, который будет радиусом окружности:
[
AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(5 + 3)^2 + 0} = \sqrt{8^2} = 8.
]
Уравнение окружности с центром ( (x_C, y_C) ) и радиусом ( r ) имеет вид:
[
(x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = r^2.
]
Подставим координаты центра C и радиус:
[
(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 8^2.
]
Таким образом, уравнение окружности:
[
(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 64.
]
- Найдите скалярное произведение векторов a и b, если их длины равны 6 и 9 соответственно, а угол между ними равен 30 градусам.
Скалярное произведение векторов можно найти по формуле:
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \cos(\theta),
]
где ( ||\vec{a}|| = 6 ), ( ||\vec{b}|| = 9 ), и ( \theta = 30^\circ ). Принимаем, что ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}.
]
- Какие векторы перпендикулярны?
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим ваши векторы:
- ( \overline{a} = (1; -3) )
- ( \overline{b} = (-3; 1) )
- ( \overline{c} = (-1.5; 0.5) )
- Скалярное произведение ( \overline{a} \cdot \overline{b} = 1 \cdot (-3) + (-3) \cdot 1 = -3 - 3 = -6 ) (не перпендикулярны).
- Скалярное произведение ( \overline{a} \cdot \overline{c} = 1 \cdot (-1.5) + (-3) \cdot 0.5 = -1.5 - 1.5 = -3 ) (не перпендикулярны).
- Скалярное произведение ( \overline{b} \cdot \overline{c} = (-3) \cdot (-1.5) + 1 \cdot 0.5 = 4.5 + 0.5 = 5 ) (не перпендикулярны).
Таким образом, ни один из представленных векторов не является перпендикулярным.
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
