Для решения данной задачи обозначим ширину прямоугольного параллелепипеда через (x) см. Тогда:
- Длина (l) будет равна (x + 5) см.
- Высота (h) будет равна (x + 10) см, поскольку она на 5 см больше длины.
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда рассчитывается по формуле:
[
S = 2(lw + lh + wh)
]
Подставим значения для (l), (w) и (h):
[
S = 2((x + 5)x + (x + 5)(x + 10) + x(x + 10))
]
Так как площадь поверхности (S) равна (244) см², мы можем записать уравнение:
[
244 = 2((x + 5)x + (x + 5)(x + 10) + x(x + 10))
]
Упростим уравнение:
[
122 = (x + 5)x + (x + 5)(x + 10) + x(x + 10)
]
Теперь раскроем скобки:
- ((x + 5)x = x^2 + 5x)
- ((x + 5)(x + 10) = x^2 + 15x + 50)
- (x(x + 10) = x^2 + 10x)
Теперь подставим в уравнение:
[
122 = (x^2 + 5x) + (x^2 + 15x + 50) + (x^2 + 10x)
]
Сложим все подобные члены:
[
122 = 3x^2 + 30x + 50
]
Преобразуем это уравнение:
[
3x^2 + 30x + 50 - 122 = 0
]
[
3x^2 + 30x - 72 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все члены на 3:
[
x^2 + 10x - 24 = 0
]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставим (a = 1), (b = 10), (c = -24):
[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}
]
[
x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2}
]
[
x = \frac{-10 \pm 14}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения:
- (x = \frac{4}{2} = 2)
- (x = \frac{-24}{2} = -12) (не подходит, так как ширина не может быть отрицательной)
Таким образом, (x = 2) см.
Теперь подставим значение (x) для нахождения других размеров:
- Длина (l = x + 5 = 2 + 5 = 7) см.
- Высота (h = x + 10 = 2 + 10 = 12) см.
Итак, размеры прямоугольного параллелепипеда:
- Ширина: (2) см
- Длина: (7) см
- Высота: (12) см
Проверим, соответствует ли площадь поверхности:
[
S = 2(2 \cdot 7 + 2 \cdot 12 + 7 \cdot 12) = 2(14 + 24 + 84) = 2 \cdot 122 = 244 \text{ см}^2
]
Ответ: ширина — 2 см, длина — 7 см, высота — 12 см.
