Реши способом подстановки систему уравнений: { x 2 − y 2 = 175 x y = 144 { x 2 −y 2 =175 xy=144
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 175 \\ xy = 144 \end{cases} \]
можем использовать метод подстановки.
Из второго уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = \frac{144}{x} \]
Подставим \( y \) в первое уравнение: \[ x^2 - \left(\frac{144}{x}\right)^2 = 175 \]
Упростим его: \[ x^2 - \frac{144^2}{x^2} = 175 \]
Умножим всё уравнение на \( x^2 \) (при этом подразумевается, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 144^2 = 175x^2 \]
Преобразуем его: \[ x^4 - 175x^2 - 144^2 = 0 \]
Обозначим \( z = x^2 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ z^2 - 175z - 144^2 = 0 \]
Найдём \( 144^2 \): \[ 144^2 = 20736 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ z^2 - 175z - 20736 = 0 \]
Используем формулу для решения квадратного уравнения \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ z = \frac{175 \pm \sqrt{175^2 + 4 \cdot 20736}}{2} \]
Найдём \( 175^2 \): \[ 175^2 = 30625 \]
Итак, \( b^2 - 4ac = 30625 + 82944 = 113569 \): \[ z = \frac{175 \pm \sqrt{113569}}{2} \]
Рассчитаем \( \sqrt{113569} = 337 \): \[ z = \frac{175 \pm 337}{2} \]
Теперь найдём два значения для \( z \): \[ z_1 = \frac{512}{2} = 256, \quad z_2 = \frac{-162}{2} = -81 \]
Поскольку \( z \) должно быть положительным, принимаем только \( z_1 = 256 \). Следовательно, \( x^2 = 256 \): \[ x = 16 \quad \text{или} \quad x = -16 \]
Найдём соответствующие значения для \( y \): Используя \( xy = 144 \):
- Если \( x = 16 \): \[ 16y = 144 \implies y = 9 \]
- Если \( x = -16 \): \[ -16y = 144 \implies y = -9 \]
Итак, у нас получились следующие решения системы: \[ (x, y) = (16, 9) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-16, -9) \]
