5/2√x = 1/2x-3
Давайте решим уравнение \( \frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} - 3 \).
Шаг 1: Приведем обе стороны уравнения к общему знаменателю.
Сначала преобразуем правую часть уравнения:
\[ \frac{1}{2x} - 3 = \frac{1}{2x} - \frac{6x}{2x} = \frac{1 - 6x}{2x} \]
Теперь у нас есть:
\[ \frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 6x}{2x} \]
Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на \( 2\sqrt{x} \cdot 2x \) для избавления от дробей.
\[ 5 \cdot 2x = (1 - 6x) \cdot 2\sqrt{x} \]
Это упростим:
\[ 10x = (1 - 6x) \cdot 2\sqrt{x} \]
Шаг 3: Раскроем скобки правой части.
\[ 10x = 2\sqrt{x} - 12x\sqrt{x} \]
Шаг 4: Переносим все элементы на одну сторону уравнения.
\[ 10x + 12x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 0 \]
Шаг 5: Давайте выразим всё в одном уравнении.
Обозначим \(\sqrt{x}\) как \(y\), тогда \(x = y^2\). Подставляем:
\[ 10y^2 + 12y^3 - 2y = 0 \]
Шаг 6: Выносим общий множитель.
\[ 2y(6y^2 + 5y - 1) = 0 \]
Здесь \(y = 0\) (это не подходит, поскольку \(\sqrt{x} = 0\) означает, что \(x = 0\), что приводит к проблемам в исходном уравнении).
Теперь решим квадратное уравнение \(6y^2 + 5y - 1 = 0\) с использованием формулы для нахождения корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = -1\):
\[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} \] \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} \] \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} \] \[ y = \frac{-5 \pm 7}{12} \]
Получаем два возможных решения:
- \(y = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)
- \(y = \frac{-12}{12} = -1\) (это решение не подходит, так как \(y\) не может быть отрицательным)
Теперь вернемся к \(\sqrt{x} = y\):
\[ \sqrt{x} = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
Таким образом, решением нашего уравнения является:
\[ x = \frac{1}{36} \]
Если возникнут дополнительные вопросы или нужно будет еще что-то объяснить, не стесняйтесь спрашивать!
