5/2√x = 1/2x-3

Давайте решим уравнение \( \frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2x} - 3 \). **Шаг 1: Приведем обе стороны уравнения к общему знаменателю.** Сначала преобразуем правую часть уравнения: \[ \frac{1}{2x} - 3 = \frac{1}{2x} - \frac{6x}{2x} = \frac{1 - 6x}{2x} \] Теперь у нас есть: \[ \frac{5}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 6x}{2x} \] **Шаг 2: Умножим обе стороны уравнения на \( 2\sqrt{x} \cdot 2x \) для избавления от дробей.** \[ 5 \cdot 2x = (1 - 6x) \cdot 2\sqrt{x} \] Это упростим: \[ 10x = (1 - 6x) \cdot 2\sqrt{x} \] **Шаг 3: Раскроем скобки правой части.** \[ 10x = 2\sqrt{x} - 12x\sqrt{x} \] **Шаг 4: Переносим все элементы на одну сторону уравнения.** \[ 10x + 12x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 0 \] **Шаг 5: Давайте выразим всё в одном уравнении.** Обозначим \(\sqrt{x}\) как \(y\), тогда \(x = y^2\). Подставляем: \[ 10y^2 + 12y^3 - 2y = 0 \] **Шаг 6: Выносим общий множитель.** \[ 2y(6y^2 + 5y - 1) = 0 \] Здесь \(y = 0\) (это не подходит, поскольку \(\sqrt{x} = 0\) означает, что \(x = 0\), что приводит к проблемам в исходном уравнении). Теперь решим квадратное уравнение \(6y^2 + 5y - 1 = 0\) с использованием формулы для нахождения корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = -1\): \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} \] \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} \] \[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} \] \[ y = \frac{-5 \pm 7}{12} \] Получаем два возможных решения: 1. \(y = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) 2. \(y = \frac{-12}{12} = -1\) (это решение не подходит, так как \(y\) не может быть отрицательным) Теперь вернемся к \(\sqrt{x} = y\): \[ \sqrt{x} = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \] Таким образом, решением нашего уравнения является: \[ x = \frac{1}{36} \] Если возникнут дополнительные вопросы или нужно будет еще что-то объяснить, не стесняйтесь спрашивать!