Пример 1. Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; −1), В(3; 0; 1), С(2; −1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу. Решение. Так как точка D лежит на оси Оу, то D(0; у; 0). Вычислим объем тетраэдра, построенного на векторах 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; −1; 2), 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (0; −2; 4), 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = (−2; 𝑦 − 1; 1). 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = | 1 −1 2 0 −2 4 −2 𝑦 − 1 1 | = 1(−2 − 4(𝑦 − 1)) − 2(−4 + 4) = −4𝑦 + 2 (определитель вычислен разложением по первому столбцу). Так как 𝑉тетр = 1 6 |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |, получаем уравнение: 5 = 1 6 |−4𝑦 + 2| или |−4𝑦 + 2| = 30. Раскрывая модуль, находим два решения: у1=8, у2=−7. Тогда искомыми точками будут D1(0; 8; 0), D2(0; −7; 0)