Реши все задания по геометрии и объясни. Без непонятных знаков

Чтобы решить задания по геометрии, давайте разберем каждую задачу одну за другой.

1. Задача 1:

   • Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \).
   • Дан: \( S = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \).

2. Задача 2:

   • Используется формула Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
   • \( a = 28 \), \( c = 100 \).
   • \( b^2 = 100^2 - 28^2 = 10000 - 784 = 9216 \).
   • \( b = \sqrt{9216} = 96 \).

3. Задача 3:

   • Используем формулу Пифагора.
   • Катет \( c = 12 \), гипотенуза \( a = 37 \).
   • \( b^2 = 37^2 - 12^2 = 1369 - 144 = 1225 \).
   • \( b = \sqrt{1225} = 35 \).

4. Задача 4:

   • Используя \( \tan \alpha = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}} \).
   • Если \( \tan \alpha = \frac{3}{4} \), катеты: \( 3x \) и \( 4x \).
   • Гипотенуза: \( c = 5x \).
   • \( x = 8 \), поэтому гипотенуза: \( 5 \times 8 = 40 \).

5. Задача 5:

   • Используем теорему косинусов для вычисления третьей стороны треугольника:
   • \( c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma} \).
   • \( c = \sqrt{8^2 + 8^2 - 2 \times 8 \times 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \).

6. Задача 6:

   • Используя теорему Пифагора: \( a = c \cdot \cos \alpha \).
   • \( a = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \).

7. Задача 7:

   • Используй формулу \( r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R} \) для нахождения радиуса.

8. Задача 8:

   • Радиус описанной окружности: \( R = \frac{a}{2 \sin A} \) используются углы и стороны треугольника для вычисления.

9. Задача 9:

   • Площадь прямоугольника с диагоналями через формулу площади квадрата и диагоналей.

Каждая задача хорошо иллюстрирует применение геометрических теорем и формул, включая теорему Пифагора, косинусов и синусов, что помогает находить неизвестные стороны или углы треугольников.