Решите неравенство. В ответ укажите количество целых решений неравенства.
Посмотрим на неравенство:
\[ \sqrt{5 - x^2} < x - 1 \]
Область определения: \[ 5 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 5 \Rightarrow -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \]
Решаем неравенство:
Сквoриpуем обe части нeравенства: \[ \sqrt{5 - x^2} < x - 1 \Rightarrow 5 - x^2 < (x - 1)^2 \]
Раскрываем скобки: \[ 5 - x^2 < x^2 - 2x + 1 \]
Приводим подобные члены: \[ 0 < 2x^2 - 2x - 4 \]
Упростим, разделим на 2: \[ 0 < x^2 - x - 2 \]
Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - x - 2 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Корни: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\).
Промежутки перемены знака: Решение неравенства \(x^2 - x - 2 > 0\): \[ x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \]
С учетом области определения \( -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \): \[ x \in [-\sqrt{5}, -1) \cup (2, \sqrt{5}] \]
Рассмотрим целые решения:
Интервалы, где могут быть целые решения:
- \(x \in [-\sqrt{5}, -1)\) содержит \(-2\), так как \( -\sqrt{5} \approx -2.236 \).
- \(x \in (2, \sqrt{5}]\) содержит \(3\).
Таким образом, всего два целых решения \(x = -2\) и \(x = 3\). Количество целых решений: \(2\).
