Решите неравенство x2 + 4х - 12 < 0

Для решения неравенства \( x^2 + 4x - 12 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + 4x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта.

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. \]

2. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 2 \).

3. Теперь проанализируем промежутки, которые определяются корнями:

• \( (-\infty, -6) \)
• \( (-6, 2) \)
• \( (2, +\infty) \)

4. Мы будем проверять знаки функции \( f(x) = x^2 + 4x - 12 \) на каждом из этих промежутков:

• Для \( x < -6 \) (например, \( x = -7 \)): \[ f(-7) = (-7)^2 + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0. \]

• Для \( -6 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0. \]

• Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ f(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0. \]

5. Теперь подытожим:

• На интервале \( (-\infty, -6) \) функция положительна.
• На интервале \( (-6, 2) \) функция отрицательна.
• На интервале \( (2, +\infty) \) функция положительна.

Неравенство \( x^2 + 4x - 12 < 0 \) выполняется на промежутке: \[ (-6, 2). \]

Ответ: \( (-6, 2) \).