Решите неравенство x2 + 4х - 12 < 0

Для решения неравенства \( x^2 + 4x - 12 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 + 4x - 12 = 0 \) с помощью дискриминанта. 1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. \] 2. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6, \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \] Теперь у нас есть корни \( x_1 = -6 \) и \( x_2 = 2 \). 3. Теперь проанализируем промежутки, которые определяются корнями: - \( (-\infty, -6) \) - \( (-6, 2) \) - \( (2, +\infty) \) 4. Мы будем проверять знаки функции \( f(x) = x^2 + 4x - 12 \) на каждом из этих промежутков: - Для \( x < -6 \) (например, \( x = -7 \)): \[ f(-7) = (-7)^2 + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0. \] - Для \( -6 < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0. \] - Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ f(3) = 3^2 + 4 \cdot 3 - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0. \] 5. Теперь подытожим: - На интервале \( (-\infty, -6) \) функция положительна. - На интервале \( (-6, 2) \) функция отрицательна. - На интервале \( (2, +\infty) \) функция положительна. Неравенство \( x^2 + 4x - 12 < 0 \) выполняется на промежутке: \[ (-6, 2). \] **Ответ:** \( (-6, 2) \).