На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что AM: AB=3:7 и AN: AC3: 5. Найдите площадь треугольника АMN, если площадь треугольника АВС равна 70.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Дано: 1. **Треугольник ABC** 2. **Площадь треугольника ABC** = 70 3. Отношение отрезков: - \( AM : AB = 3 : 7 \) - \( AN : AC = 3 : 5 \) ### Необходимо: Найти площадь треугольника AMN. ### Шаг 1: Найти отношение площадей треугольников Отношения \( AM : AB \) и \( AN : AC \) позволяют нам определить, как площадь треугольника AMN соотносится с площадью треугольника ABC. #### Отношение \( AM: AB \) \( AM : AB = 3 : 7 \) означает, что \( AM = \frac{3}{7} AB \). #### Отношение \( AN: AC \) \( AN : AC = 3 : 5 \) означает, что \( AN = \frac{3}{5} AC \). ### Шаг 2: Вычислить отношение площадей Площадь треугольника пропорциональна произведению его оснований и высоты. Пусть: - Площадь треугольника ABC обозначим как \( S_{ABC} = 70 \). - Площадь треугольника AMN обозначим как \( S_{AMN} \). ### Вычисление отношения площадей: Площадь треугольника AMN можно выразить через площадь треугольника ABC, используя найденные отношения: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} \] Теперь подставим значения: \[ \frac{S_{AMN}}{70} = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} \] ### Шаг 3: Посчитаем числитель: \[ \frac{S_{AMN}}{70} = \frac{9}{35} \] ### Шаг 4: Найдем площадь треугольника AMN Умножим обе стороны на 70, чтобы найти площадь треугольника AMN: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{9}{35} \] ### Шаг 5: Упростим: \[ S_{AMN} = 70 \cdot \frac{9}{35} = 2 \cdot 9 = 18 \] ### Ответ: Площадь треугольника AMN равна **18**.