Решим данную задачу поэтапно, используя вероятностные методы.
Задача
Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Нам нужно определить минимальное количество выстрелов (патронов), чтобы вероятность попадания в цель была не меньше 0,8.
Обозначения
- Вероятность попадания в цель при одном выстреле ( p = 0,5 ).
- Вероятность непопадания в цель при одном выстреле ( q = 1 - p = 0,5 ).
- Пусть ( n ) — количество выстрелов.
Постановка условия
Вероятность того, что стрелок не попадет в цель за ( n ) выстрелов будет равна ( q^n ).
Следовательно, вероятность того, что хотя бы один раз он попадет в цель, равна:
[
P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{не попадание}) = 1 - q^n
]
Теперь нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0,8:
[
1 - q^n \geq 0,8
]
[
q^n \leq 0,2
]
Подставляем значения
Используем ( q = 0,5 ):
[
(0,5)^n \leq 0,2
]
Логарифмическое неравенство
Теперь возьмём логарифм от обеих сторон неравенства. Это можно сделать, потому что функция логарифма является монотонно возрастающей:
[
\log((0,5)^n) \leq \log(0,2)
]
[
n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2)
]
Определяем значение логарифма
Значение ( \log(0,5) ) отрицательно, поэтому неравенство изменится на противоположное при делении на его значение:
[
n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)}
]
Находим логарифмы
Посчитаем логарифмы (в любом логарифмическом основании, здесь будем использовать десятичный логарифм):
[
\log(0,2) \approx -0,6990
]
[
\log(0,5) \approx -0,3010
]
Вычисляем ( n )
Подставляем в формулу:
[
n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32
]
Поскольку ( n ) должно быть целым числом, мы округляем его в большую сторону. Таким образом, наименьшее подходящее целое число — это 3.
Ответ
Стрелку необходимо дать минимум 3 патрона для того, чтобы вероятность попадания в цель была не менее 0,8.
