Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество…

Решим данную задачу поэтапно, используя вероятностные методы.

Задача

Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Нам нужно определить минимальное количество выстрелов (патронов), чтобы вероятность попадания в цель была не меньше 0,8.

Обозначения

• Вероятность попадания в цель при одном выстреле \( p = 0,5 \).
• Вероятность непопадания в цель при одном выстреле \( q = 1 - p = 0,5 \).
• Пусть \( n \) — количество выстрелов.

Постановка условия

Вероятность того, что стрелок не попадет в цель за \( n \) выстрелов будет равна \( q^n \). Следовательно, вероятность того, что хотя бы один раз он попадет в цель, равна:

\[ P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{не попадание}) = 1 - q^n \]

Теперь нам нужно, чтобы эта вероятность была не меньше 0,8:

\[ 1 - q^n \geq 0,8 \] \[ q^n \leq 0,2 \]

Подставляем значения

Используем \( q = 0,5 \):

\[ (0,5)^n \leq 0,2 \]

Логарифмическое неравенство

Теперь возьмём логарифм от обеих сторон неравенства. Это можно сделать, потому что функция логарифма является монотонно возрастающей:

\[ \log((0,5)^n) \leq \log(0,2) \] \[ n \cdot \log(0,5) \leq \log(0,2) \]

Определяем значение логарифма

Значение \( \log(0,5) \) отрицательно, поэтому неравенство изменится на противоположное при делении на его значение:

\[ n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,5)} \]

Находим логарифмы

Посчитаем логарифмы (в любом логарифмическом основании, здесь будем использовать десятичный логарифм):

\[ \log(0,2) \approx -0,6990 \] \[ \log(0,5) \approx -0,3010 \]

Вычисляем \( n \)

Подставляем в формулу:

\[ n \geq \frac{-0,6990}{-0,3010} \approx 2,32 \]

Поскольку \( n \) должно быть целым числом, мы округляем его в большую сторону. Таким образом, наименьшее подходящее целое число — это 3.

Ответ

Стрелку необходимо дать минимум 3 патрона для того, чтобы вероятность попадания в цель была не менее 0,8.