Решить

Чтобы найти угол между вектором \( \overrightarrow{OM} \) и положительным направлением оси \( Ox \), мы сначала определим координаты точки \( M \) и вектора \( \overrightarrow{OM} \). Точка \( M \) имеет координаты \( \left(3\sqrt{3}, 3\right) \). Вектор \( \overrightarrow{OM} \) определяется координатами точки \( M \) как \( (3\sqrt{3}, 3) \). Положительное направление оси \( Ox \) можно представить вектором \( (1, 0) \). Найдем косинус угла \( \theta \) между векторами \( \overrightarrow{OM} = (3\sqrt{3}, 3) \) и \( \overrightarrow{i} = (1, 0) \), используя скалярное произведение: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{i} = 3\sqrt{3} \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 3\sqrt{3}. \] Теперь найдем длины этих векторов: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6. \] \[ |\overrightarrow{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1. \] Косинус угла между векторами находится по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{i}|} = \frac{3\sqrt{3}}{6 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Используя таблицу значений тригонометрических функций, находим, что \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствует углу \( \theta = 30^\circ \). Таким образом, угол между вектором \( \overrightarrow{OM} \) и положительным направлением оси \( Ox \) равен \( 30^\circ \).