решение методом подстановки систему уравнений: x-4y=2, xy+2y=8

Давайте решим систему уравнений методом подстановки. У нас есть две уравнения:

1. \( x - 4y = 2 \)
2. \( xy + 2y = 8 \)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Начнем с первого уравнения. Нам нужно выразить \( x \) через \( y \):

\[ x = 4y + 2 \]

Шаг 2: Подставим выражение \( x \) во второе уравнение

Теперь подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение:

\[ (4y + 2)y + 2y = 8 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Раскроем скобки и упростим:

\[ 4y^2 + 2y + 2y = 8 \] \[ 4y^2 + 4y = 8 \]

Шаг 4: Приведем уравнение к стандартному виду

Переносим 8 в левую часть уравнения:

\[ 4y^2 + 4y - 8 = 0 \]

Шаг 5: Упростим уравнение

Разделим все члены уравнения на 4:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней \( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1, b = 1, c = -2 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Теперь найдем корни:

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Это дает нам два решения:

1. \( y_1 = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( y_2 = \frac{-4}{2} = -2 \)

Шаг 7: Найдем соответствующие значения \( x \)

Теперь найдем \( x \) для каждого значения \( y \).

1. Для \( y = 1 \): \[ x = 4(1) + 2 = 6 \] Получаем пару \( (x, y) = (6, 1) \).

2. Для \( y = -2 \): \[ x = 4(-2) + 2 = -8 + 2 = -6 \] Получаем пару \( (x, y) = (-6, -2) \).

Итоговый ответ

Система уравнений имеет два решения:

1. \( (6, 1) \)
2. \( (-6, -2) \)

Таким образом, мы успешно решили систему уравнений методом подстановки!