объясни подробно как решать системы линейных уравнений методом сложения

Системы линейных уравнений — это множество уравнений с несколькими переменными, которые необходимо решить одновременно. Один из методов решения таких систем — метод сложения (или метод подстановки). Рассмотрим этот метод на примере.

Шаг 1: Определим систему уравнений

Допустим, у нас есть следующая система уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \quad (1) \\ 4x - y = 5 \quad (2) \end{cases} \]

Шаг 2: Приведем уравнения в удобный вид

Мы можем выразить одно из уравнений так, чтобы одна из переменных осталась в правой части, а все остальное перенеслось в левую. Например, из уравнения (2) выразим \(y\):

\[ 4x - y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 4x - 5 \quad (3) \]

Шаг 3: Подставим выражение в другое уравнение

Теперь, используя уравнение (3), подставим значение \(y\) в первое уравнение (1):

\[ 2x + 3(4x - 5) = 6 \]

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь упростим уравнение:

\[ 2x + 12x - 15 = 6 \]

Сложим \(2x\) и \(12x\):

\[ 14x - 15 = 6 \]

Шаг 5: Разрешим уравнение относительно \(x\)

Теперь добавим 15 к обеим сторонам:

\[ 14x = 21 \]

Теперь разделим обе стороны на 14:

\[ x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} \]

Шаг 6: Найдем значение \(y\)

Теперь, когда мы знаем \(x\), подставим его обратно в уравнение (3):

\[ y = 4\left(\frac{3}{2}\right) - 5 = 6 - 5 = 1 \]

Шаг 7: Запишем окончательный ответ

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ (x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right) \]

Итог

Метод сложения или подстановки позволяет шаг за шагом решать систему линейных уравнений, подставляя одно уравнение в другое. Это удобный способ, когда одно из уравнений легко выражается в зависимости от другой переменной.

Обязательно проверьте полученное решение, подставив \(x\) и \(y\) обратно в исходные уравнения.