9класс Контрольная работа №3 Вариант 1. Тема «Решение треугольников» 1. В треугольнике АВС: BC=3/2, угол B=30°, угол C=75°. Найдите: АC, AВ, А. 2. В треугольнике АВС: AB=8, BС=5,…

Давайте разберем каждую задачу по порядку. В нашем случае предстоит работать с треугольниками, углами и векторами, что требует применения тригонометрии и алгебры.

Задача 1

Треугольник ABC, BC = 3/2, ∠B = 30°, ∠C = 75°. Найдите AC, AB, A.

1. Найдите угол A:
   Угол A можно найти, так как сумма углов треугольника равна 180°: \[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 30° - 75° = 75°. \]

2. Найдите сторону AC (сторону, противоположную углу A):
   Используем правило синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]
   где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\). Подставляем значения: \[ \frac{3/2}{\sin 75°} = \frac{AC}{\sin 30°}. \] Вспоминаем, что \(\sin 30° = 0.5\) и \(\sin 75° \approx 0.966\): \[ AC = \frac{3/2 \cdot 0.5}{0.966} \approx 0.774. \]

3. Теперь найдем сторону AB (сторону, противоположную углу B): \[ \frac{AB}{\sin 30°} = \frac{3/2}{\sin 75°} \implies AB = \frac{3/2 \cdot 0.5}{0.966} \approx 0.774. \]

4. Теперь найдем угол A:
   Поскольку у нас уже есть значения всех углов, мы завершили решение.

Задача 2

Треугольник ABC: AB=8, BC=5, угол B=60°. Найдите AC, угол A, угол C.

1. Найдите сторону AC (по теореме косинусов): Используем формулу: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B. \] Подставляем: \[ AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 64 + 25 - 40 = 49 \implies AC = 7. \]

2. Теперь найдем угол A (по правилу синусов): \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin B} \implies \sin A = \frac{AC \cdot \sin B}{AB} = \frac{7 \cdot 0.866}{8} \implies A \approx 60°. \]

3. Найдите угол C: \[ C = 180° - A - B = 180° - 60° - 60° = 60°. \]

Задача 3

Найдите cosM, cosL, cosK в AKLM, если K(1;7), L(-2;4), M(2;0).

Для начала, вычислим векторы:

• \( \vec{KL} = L - K = (-2 - 1; 4 - 7) = (-3; -3) \)
• \( \vec{KM} = M - K = (2 - 1; 0 - 7) = (1; -7) \)

Теперь найдем длины векторов: \[ |\vec{KL}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \] \[ |\vec{KM}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \]

Чтобы найти угол KLM, используем скалярное произведение: \[ \vec{KL} \cdot \vec{KM} = (-3)(1) + (-3)(-7) = -3 + 21 = 18. \]

Теперь находим косинусы углов: \[ \cos K = \frac{\vec{KL} \cdot \vec{KM}}{|\vec{KL}| \cdot |\vec{KM}|} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{30} = 0.6. \]

Аналогично можно найти косинусы для углов L и M, учитывая их положение и вектора.

Задача 4

Найдите скалярное произведение векторов a и b, если |a|=9, |b|=10, угол между ними равен 125°.

Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta). \] Поскольку угол равен 125°, находим косинус: \[ \cos(125°) = -\cos(55°) \approx -0.5736. \] Теперь подставляем значения: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot 10 \cdot (-0.5736) \approx -51.624. \]

Это пошаговое объяснение должно помочь вам понять задачи. Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то более подробно, пожалуйста, уточните!