дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность…
Дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?
Для решения этой задачи разобьём её на несколько шагов.
- Определим возраста дочерей:
Пусть старшей дочери в момент, когда у них составилась библиотека, было \( x \) лет. Раз возраста составляют арифметическую прогрессию с разностью 2, то возраста остальных дочерей будут:
- (старшая) \( x \)
- (вторая) \( x - 2 \)
- (третья) \( x - 4 \)
- (четвёртая) \( x - 6 \)
- (пятая) \( x - 8 \)
Таким образом, движения по возрастам идут так: \( x, x - 2, x - 4, x - 6, x - 8 \).
- Вычислим общее количество книг:
Каждая дочь получает в день рождения столько книг, сколько ей лет. То есть:
- В день рождения старшей (когда ей было \( x \) лет) она получает \( x \) книг.
- В день рождения второй дочери (когда её возраст \( x - 2 \)) она получает \( x - 2 \) книг.
- И так далее для остальных дочерей.
Таким образом, общее количество книг, которое они получили в свои дни рождения, можно выразить как: \[ \text{Общее количество книг} = x + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8) \]
Упростим это выражение: \[ \text{Общее количество книг} = x + x - 2 + x - 4 + x - 6 + x - 8 = 5x - 20 \]
Установим равенство с данным количеством книг:
Из условия задачи мы знаем, что общее количество книг равно 495: \[ 5x - 20 = 495 \]Решим уравнение:
Чтобы найти \( x \), сначала прибавим 20 к обеим сторонам: \[ 5x = 495 + 20 \] \[ 5x = 515 \]
Теперь разделим обе стороны на 5: \[ x = \frac{515}{5} = 103 \]
Таким образом, старшей дочери было 103 года, когда в библиотеке стало 495 книг.
- Проверка:
Посмотрим, сколько книг было получено во все дни рождения:
- Старшей дочери 103 года: 103 книги
- Второй дочери 101 год: 101 книга
- Третьей дочери 99 лет: 99 книг
- Четвёртой дочери 97 лет: 97 книг
- Пятой дочери 95 лет: 95 книг
Сложим: \[ 103 + 101 + 99 + 97 + 95 = 495 \]
Это подтверждает правильность решения!
Итак, старшей дочери было 103 года, когда библиотека насчитывала 495 книг.
