Для решения этой задачи разобьём её на несколько шагов.
- Определим возраста дочерей:
Пусть старшей дочери в момент, когда у них составилась библиотека, было ( x ) лет. Раз возраста составляют арифметическую прогрессию с разностью 2, то возраста остальных дочерей будут:
- (старшая) ( x )
- (вторая) ( x - 2 )
- (третья) ( x - 4 )
- (четвёртая) ( x - 6 )
- (пятая) ( x - 8 )
Таким образом, движения по возрастам идут так: ( x, x - 2, x - 4, x - 6, x - 8 ).
- Вычислим общее количество книг:
Каждая дочь получает в день рождения столько книг, сколько ей лет. То есть:
- В день рождения старшей (когда ей было ( x ) лет) она получает ( x ) книг.
- В день рождения второй дочери (когда её возраст ( x - 2 )) она получает ( x - 2 ) книг.
- И так далее для остальных дочерей.
Таким образом, общее количество книг, которое они получили в свои дни рождения, можно выразить как:
[
\text{Общее количество книг} = x + (x - 2) + (x - 4) + (x - 6) + (x - 8)
]
Упростим это выражение:
[
\text{Общее количество книг} = x + x - 2 + x - 4 + x - 6 + x - 8 = 5x - 20
]
Установим равенство с данным количеством книг:
Из условия задачи мы знаем, что общее количество книг равно 495:
[
5x - 20 = 495
]
Решим уравнение:
Чтобы найти ( x ), сначала прибавим 20 к обеим сторонам:
[
5x = 495 + 20
]
[
5x = 515
]
Теперь разделим обе стороны на 5:
[
x = \frac{515}{5} = 103
]
Таким образом, старшей дочери было 103 года, когда в библиотеке стало 495 книг.
- Проверка:
Посмотрим, сколько книг было получено во все дни рождения:
- Старшей дочери 103 года: 103 книги
- Второй дочери 101 год: 101 книга
- Третьей дочери 99 лет: 99 книг
- Четвёртой дочери 97 лет: 97 книг
- Пятой дочери 95 лет: 95 книг
Сложим:
[
103 + 101 + 99 + 97 + 95 = 495
]
Это подтверждает правильность решения!
Итак, старшей дочери было 103 года, когда библиотека насчитывала 495 книг.
