Одно из двух натуральных чисел на 3 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 180.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с обозначений и шагов:

1. Обозначим числа: пусть одно число будет \( x \), тогда другое число, согласно условию задачи, будет \( x + 3 \).

2. Запишем уравнение для произведения: по условию, произведение этих двух чисел равно 180. То есть мы можем записать уравнение: \[ x \cdot (x + 3) = 180 \]

3. Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x = 180 \]

4. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения: \[ x^2 + 3x - 180 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение: теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Формула для дискриминанта \( D \) выглядит следующим образом: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -180 \).

   Подставляем значения: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 \]

6. Находим корни уравнения: теперь находим корни по формуле: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-3 \pm \sqrt{729}}}{2} \] Так как \( \sqrt{729} = 27 \), подставим это значение: \[ x = \frac{{-3 + 27}}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{{-3 - 27}}{2} \] Первый корень: \[ x = \frac{24}{2} = 12 \] Второй корень: \[ x = \frac{-30}{2} = -15 \] Поскольку нас интересуют только натуральные числа, берём только \( x = 12 \).

7. Находим второе число: теперь, зная \( x \), найдем второе число: \[ x + 3 = 12 + 3 = 15 \]

8. Ответ: два числа, удовлетворяющие условиям задачи, это \( 12 \) и \( 15 \).

Проверка:

• Произведение: \( 12 \cdot 15 = 180 \) — верно.
• Первое число больше второго на 3: \( 15 - 12 = 3 \) — верно.

Таким образом, мы нашли натуральные числа: 12 и 15. Это и есть ответ на задачу.