В прямоугольном треугольнике АБС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120⁰,АС+АВ=18см .Найдите АС и АВ

Для решения задачи, давайте сначала обозначим важные элементы и сделаем некоторые выводы.

1. У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \).
2. Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 120^\circ \). Поскольку внешний угол равен \( 120^\circ \), то внутренний угол \( A \) можно найти следующим образом:

\[ \text{Угол } A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \]

Следовательно, угол \( B \) в треугольнике \( ABC \) будет равен:

\[ \text{Угол } B = 90^\circ - \text{Угол } A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ. \]

Теперь мы имеем полный набор углов треугольника \( ABC \):

• Угол \( A = 60^\circ\)
• Угол \( B = 30^\circ\)
• Угол \( C = 90^\circ\)

3. Согласно условию, \( AC + AB = 18 \) см. Обозначим \( AC = x \) и \( AB = y \). Тогда:

\[ x + y = 18. \]

4. В прямоугольном треугольнике существуют соотношения между сторонами и углами. Для треугольника с углами \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) и \( 90^\circ \) существует соотношение:

• Сторона, противолежащая углу \( 30^\circ \) (\( AC \)), в \( 2 \) раза меньше стороны, противолежащей углу \( 60^\circ \) (\( AB \)). То есть: \[ AC = \frac{1}{2} AB. \]

Запишем это уравнение:

\[ x = \frac{1}{2}y. \]

5. Теперь подставим выражение для \( x \) из второго уравнения в первое уравнение:

\[ \frac{1}{2}y + y = 18. \]

6. Преобразуем уравнение:

\[ \frac{3}{2}y = 18. \]

7. Умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{3} \):

\[ y = 12 \text{ см}. \]

Теперь подставим \( y \) обратно в уравнение для \( x \):

\[ x + 12 = 18 \Rightarrow x = 6 \text{ см}. \]

Таким образом, мы нашли длины сторон:

• \( AC = 6 \) см.
• \( AB = 12 \) см.

Ответ:

• \( AC = 6 \) см, \( AB = 12 \) см.