В прямоугольном треугольнике АБС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120⁰,АС+АВ=18см .Найдите АС и АВ

Для решения задачи, давайте сначала обозначим важные элементы и сделаем некоторые выводы. 1. У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \). 2. Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 120^\circ \). Поскольку внешний угол равен \( 120^\circ \), то внутренний угол \( A \) можно найти следующим образом: \[ \text{Угол } A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \] Следовательно, угол \( B \) в треугольнике \( ABC \) будет равен: \[ \text{Угол } B = 90^\circ - \text{Угол } A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ. \] Теперь мы имеем полный набор углов треугольника \( ABC \): - Угол \( A = 60^\circ\) - Угол \( B = 30^\circ\) - Угол \( C = 90^\circ\) 3. Согласно условию, \( AC + AB = 18 \) см. Обозначим \( AC = x \) и \( AB = y \). Тогда: \[ x + y = 18. \] 4. В прямоугольном треугольнике существуют соотношения между сторонами и углами. Для треугольника с углами \( 30^\circ \), \( 60^\circ \) и \( 90^\circ \) существует соотношение: - Сторона, противолежащая углу \( 30^\circ \) (\( AC \)), в \( 2 \) раза меньше стороны, противолежащей углу \( 60^\circ \) (\( AB \)). То есть: \[ AC = \frac{1}{2} AB. \] Запишем это уравнение: \[ x = \frac{1}{2}y. \] 5. Теперь подставим выражение для \( x \) из второго уравнения в первое уравнение: \[ \frac{1}{2}y + y = 18. \] 6. Преобразуем уравнение: \[ \frac{3}{2}y = 18. \] 7. Умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{3} \): \[ y = 12 \text{ см}. \] Теперь подставим \( y \) обратно в уравнение для \( x \): \[ x + 12 = 18 \Rightarrow x = 6 \text{ см}. \] Таким образом, мы нашли длины сторон: - \( AC = 6 \) см. - \( AB = 12 \) см. ### Ответ: - \( AC = 6 \) см, \( AB = 12 \) см.