решите уравнение с дискриминантом (х-4)(х²+4х+16)+28=х²(х-25)
Чтобы решить уравнение \((x-4)(x^2+4x+16)+28=x^2(x-25)\), начнем с его упрощения.
Шаг 1: Раскроем скобки
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
\[ (x-4)(x^2+4x+16) = x(x^2 + 4x + 16) - 4(x^2 + 4x + 16) \]
Теперь раскроем каждую часть:
Первая часть: \[ x(x^2 + 4x + 16) = x^3 + 4x^2 + 16x \]
Вторая часть: \[ -4(x^2 + 4x + 16) = -4x^2 - 16x - 64 \]
Теперь сложим обе части:
\[ x^3 + 4x^2 + 16x - 4x^2 - 16x - 64 = x^3 - 64 \]
Теперь добавим 28:
\[ x^3 - 64 + 28 = x^3 - 36 \]
Таким образом, левая часть уравнения становится:
\[ x^3 - 36 \]
Шаг 2: Запишем уравнение
Теперь мы можем переписать уравнение как:
\[ x^3 - 36 = x^2(x - 25) \]
Шаг 3: Раскроем правую часть
Правую часть также раскроем:
\[ x^2(x - 25) = x^3 - 25x^2 \]
Шаг 4: Приведем все к одной стороне
Теперь перейдем к уравнению:
\[ x^3 - 36 = x^3 - 25x^2 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ x^3 - x^3 + 25x^2 - 36 = 0 \] \[ 25x^2 - 36 = 0 \]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть простое квадратное уравнение:
\[ 25x^2 = 36 \]
Разделим обе стороны на 25:
\[ x^2 = \frac{36}{25} \]
Теперь извлекаем корень:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{36}{25}} = \pm \frac{6}{5} \]
Шаг 6: Запишем ответ
Таким образом, у уравнения есть два решения:
\[ x_1 = \frac{6}{5}, \quad x_2 = -\frac{6}{5} \]
Проверка
Мы можем подставить найденные значения в изначальное уравнение, чтобы убедиться, что решения верны (это шаг для самообразования, но часто полезен для проверки):
- При \(x = \frac{6}{5}\)
- При \(x = -\frac{6}{5}\)
Это требует вспомогательных вычислений и не всегда может быть обязательным, но полезным для понимания правильности решений.
Заключение
Мы разобрали уравнение, раскрыв скобки и упростив его. Далее применили формулы для нахождения корней квадратного уравнения, что позволило нам найти все возможные значения \(x\).
