Чтобы решить уравнение ( \cos 2x = \sin(x + \frac{\pi}{2}) ) и найти корни, принадлежащие промежутку ((-2\pi; -\pi)), следуем пошагово:
Шаг 1: Упрощение уравнения
Запомним, что ( \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x ). Это следует из тригонометрических тождеств. Таким образом, уравнение можно переписать как:
[
\cos 2x = \cos x
]
Шаг 2: Используем тождество для косинуса
Теперь воспользуемся тем, что зная, что (\cos A = \cos B) приводит к равенству:
[
A = B + 2k\pi \quad \text{или} \quad A = -B + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]
Применяя это к нашему уравнению, получаем:
- ( 2x = x + 2k\pi )
- ( 2x = -x + 2k\pi )
Решим каждое из этих уравнений.
Шаг 3: Решение первого уравнения
Из первого уравнения:
[
2x = x + 2k\pi
]
Вычтем (x) с обеих сторон:
[
x = 2k\pi
]
Шаг 4: Решение второго уравнения
Из второго уравнения:
[
2x = -x + 2k\pi
]
Прибавим (x) к обеим сторонам:
[
3x = 2k\pi
]
Следовательно,
[
x = \frac{2k\pi}{3}
]
Шаг 5: Подбор корней в заданном промежутке
Теперь мы должны найти корни уравнений (x = 2k\pi) и (x = \frac{2k\pi}{3}), которые принадлежат промежутку ((-2\pi; -\pi)).
Для (x = 2k\pi):
- Если (k = -1): (x = -2\pi) (не входит в промежуток)
- Если (k = 0): (x = 0) (не входит в промежуток)
Корней нет.
Для (x = \frac{2k\pi}{3}):
- Если (k = -3):
[
x = \frac{2(-3)\pi}{3} = -2\pi \quad (\text{не входит в промежуток})
]
- Если (k = -2):
[
x = \frac{2(-2)\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку})
]
- Если (k = -1):
[
x = \frac{2(-1)\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \quad (\text{принадлежит промежутку})
]
- Если (k = 0):
[
x = 0 \quad (\text{не входит в промежуток})
]
Шаг 6: Ответ
Таким образом, корни уравнения ( \cos 2x = \sin(x + \frac{\pi}{2}) ), принадлежащие промежутку ((-2\pi; -\pi)), это:
[
x = -\frac{4\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{2\pi}{3}
]
